天一大联考 顶尖联盟 2023-2024学年高二秋季期中检测(11月)数学f试卷答案正在持续更新，本期2024衡中同卷单元卷答案网为大家整理了相关试题及答案，供大家查缺补漏，高效提升成绩。 个法向量，又|cos(PA,n)|=|PA·n√6AA1的长为x(x>0),则A1(1,0,0),C1(0,B(0,1,0),C(0,0,0),F(0,0,1),E(3,0,1),PA31,0,C(01,z),A10,x),E(00,）所所以AB=(-3,1,0),设点M(t,0,1),其中故直线PA与面PCD所成角的正弦值为0≤t≤√3，则AM=(t一√3,0,1)，设面以Ai=00,x),EA=(1,0,-）,武MAB的法向量为m=(x,y,之)，则n c|m·AB=-√3x+y=0,【变式训练】解(1)证明：因为AD=CD=（0,1,2)。由面AEA即面取x=1,可得ym·AM=(t-√3)x+之=0，∠ADB=∠BDC,BD=BD,所以△ABD≌△CBD,所以AB=CB。因为E为AC的中A1B1BA,可得面A,EA的一个法向量为m=√5，z=√5-t,所以m=(1,W3,W3一t)是面MAB的一个法向量，易知面FCB的一点，所以DE⊥AC,BE⊥AC。因为DE∩BE=B1C1=(0,1,0)。设n=(r,s,t)为面个法向量为n=(1,0,0)。所以|cos(m,n〉|=E,DE,BEC面BED,所以AC⊥面A,EC的法向量，则《n·EA1=0,即mnBED。因为ACC面ACD,所以面BEDn·Et=0,,所以当t=0,即M⊥面ACD。m ntW4+(t-√3)2(2)如图，连接EF4r2=0,与F重合时，|cos(m,n)|取最小值，此时面由(1)知AC⊥面取t=2,得r=x,s=一x,所以nMAB与面FCB所成锐二面角最大，此时BED。又因为EC面BED,所以20,面MAB与面FCB所成锐二面角的余弦值EF⊥AC。所以=(x,一x,2)是面A1EC的一个法向量。为号1SAAFC=AC·A二面角C-AEA的大小为于，则m,n的夹第八章面解析几何EF。当EF⊥BDm·n第一节直线的倾斜角时，EF的长最小，此时△AFC的面积最小角为行或。故cos(m,n)=由(1)知AB=CB=2。又因为∠ACB=60°-x与斜率、直线的方程所以△ABC是边长为2的正三角形，所以BEWx2+x2+42,解得x2=2,又x>0,所主干知识·整合=√5。因为AD⊥CD,所以DE=1,所以基础梳理以x=√2。故AA1的长为√2DE2十BE2=BD2,所以DE⊥BE。以E为【例3】解(1)证明：因为PD⊥底面ABCD,1.(2)0°(3)0°≤a<180原点，EA,EB,ED分别为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(1,0,0),AD面ABCD,所PD上AD又底面3.y-y。=k(x-)二=ABCD为正方形，所以AD⊥DC。PD∩DCy2-y1x2-x1（x1≠B(0,W3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),所以A言=D,PD,DCC面PDC,因此AD⊥面x2,y1≠y2）=(-1,3,0),AD=(-1,0,1),DB=(0,PDC。因为AD∥BC,AD丈面PBC,BCC小题演练V5,-1),Ed=(0,0,1),EC=(-1,0,0)。设面PBC,所以AD∥面PBC。又ADC：1.A面PAD,面PAD∩面PBC=l,所以l∥解析由题意，得受=1,解得m=1。D求=ADB(0≤入≤1)，则E萨=ED+DF=2.D解析直线的斜率为k=tan135°=一1，所ED+ADB=(0,0,1)+λ(0,5，-1)=(0，AD,因此L⊥面PDC。以直线方程为y=一x-1,即x十y十1=0。√3A,1一入)。因为EF⊥DB,所以EF·DB=(2)以D为原点，DA的3.3x一2y=0或x+y一5=0解析当截距为(0w3λ，1-λ)·(0，√3，-1)=4λ-1=0，所方向为x轴正方向，建立零时，直线方程为3x一2y=0;当截距不为零如图所示的空间直角坐所以=(o）所以以入=1标系Dxyz,则D(0,0,时，设直线方程为三+义=1，则2十3=1，a0),C(0,1,0),B(1,1解得a=5,所以直线方程为x十y一5=0。--成=(0,5,30),P(0,0,1),所以DC4.ABD 5.D4,4》-(-1,0,0)==(0,1,0),PB=(1,1,(1,,）,设半面ABD的法向量为-1)。由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,6.[-,ou[）解折当[1)。设n=(x,y,z)是面QCD的法向量，（红，则：店=0即z+5y=0,歌则：D0即ax十=0取x=-1,则)时，=am∈[：当[n·AD=0,—x十2=0。n·DC=0,1y=0。时，k=tana∈[一√3,0)。综上可得k∈y=1,则x=√3，之=√3，所以n=(√3,1，√5)z=a,所以n=(-1,0,a)为面QCD的一个是面ABD的一个法向量。设当△AFC的[-√5,0)U面积最小时，CF与面ABD所成的角为O,法向量。所以cos《n,P馆)=n·P日nPB关键能力·突破则sin0=|cos(n,C市)1=ln·C方-1-a1.AInCFV3X√1+a设PB与面QCD所成的角2.B解析由直线方程可得该直线的斜率为X1+1<0,所以倾斜角的取4+×34W3为0，则sin0=√3a+1a+1又-1a+故当33979W1+a2√3+1+3×√1+i6+16√33V1+2a2a△AFC的面积最小时，CF与面ABD所成a2+1。因为3×W1+a2+1:3.AD解析如题图，直线L1,l2,l3的斜率分别√为k1,k2,kg,倾斜角分别为a1a2a3,则k2>角的正弦值为4793,当且仅当a=1时取等号，所以PB与kg>0,1<0,故空>a2>a>0,且e1为钝【变式训练】解(1)证明：取A1C1的中点G,连接FG,B1G。因为三棱柱ABC-A,B,C为面QCD所成角的正弦值的最大值为。角。故选AD。√3]U[1,+o∞)直三棱柱，所以CC1⊥面A1BC1,因为4.(解析解法一：设PA与PEB,GC面A1B1C1,所以B,G⊥CC1【变式训练】解(1)证明：在梯形ABCD中，因为AiB1=BC1,G为A1C1的中点，所以B1G的倾斜角分别为a,B,直,所⊥A1C1,A1C1∩CC1=C1,A,C,CC,AB//CD,AD=CD=BC=1,/BCD=2x3PA的斜率是AP=1,直线面AA1C1C,所以BG⊥面AA1C1C,因以∠ADC=2PB的斜率是kBP=一√5，,所以∠BAC=∠ACD=为G为A1C1的中点，F为A1C的中点，所以36直线由PA变化到与y行的位置PC时，它的倾FG∥CC1且FG=2CC1。因为E为BB,的又因为∠ABC=π一∠BCD=，所以斜角由a增至90°，斜率的取值范围为[1，十∞)。当直线l由PC变化到PB的位置时，中点，所以B,E=2BB1=2CC,=FG。又∠ACB=元-∠ABC-∠BAC=,所以AC它的倾斜角由90°增至B,斜率的变化范围是B1E∥CC1,所以FG∥B1E且FG=B1E,所以⊥BC,因为CF⊥面ABCD,ACC面(一∞，一√3]。故斜率的取值范围是（一∞，四边形B1EFG为行四边形，EF∥B1G。综ABCD,所以AC⊥CF。因为BC∩CF=C,-√3]U[1,+∞).上所述，EF⊥面AA1C1C。BC,CFC面BCF,所以AC⊥面BCF,因解法二：设直线1的斜率为k,则直线！的方程(2)因为AC=√2，AB=为四边形ACFE为矩形，所以AC∥EF,因此为y=k(x一1)，即kx-y一k=0。因为A,BBC=1,所以AB2+EF⊥面BCF。两点在直线L的两侧或其中一，点在直线l上，所BC2=AC2,即∠ABC(2)由(1)知CF,AC以(2k-1-k)(-3-k)≤0，即(k-1)(k+为直角，AB⊥BC,则CB两两垂直。以C√3)≥0，解得k≥1或k≤一√3。即直线l的斜A1B1⊥BC1,以B为为原点，CA,CB,CF率的取值范围是（一∞，一√3]U[1,十∞）。原，点，以直线B,A,为所在直线分别为【例1】解(1)设直线y=3x的倾斜角为a,则轴，B,C1为y轴.B:B轴、y轴、z轴建立如所求直线的倾斜角为2a。因为tana=3,所以为之轴，建立如图所示图所示的空间直角坐2tan a3的空间直角坐标系。设tan 2a4。又直线经过点标系，则A(√，0,0)，1-tan2a答案深度解析·43·